APLIKASI ALJABAR LINIER DALAM HITUNGAN KUADRAT TERKECIL

       I.            Pendahuluan

Setiap pengukuran selalu dihinggapi kesalahan yang sifatnya acak. Oleh karena itu dibutuhkan suatu metode yang dapat menentukan nilai parameter tertentu dengan meminimalkan kesalahan acak. Hitung perataan adalah suatu cara untuk menentukan nilai koreksi yang harus diberikan pada hasil pengukuran, sehingga hasil pengukuran memenuhi syarat geometriknya (Wolf, 1980). Syarat geometrik merupakan suatu kondisi yang harus dipenuhi dari hubungan suatu pengukuran dengan pengukuran lainnya. Hitungan perataan merupakan aplikasi dari aljabar linier seperti perkalian antara matriks,hasil persamaan linier dll. Sehingga Aljabar linier merupakan ilmu dasar yang menopang hitung perataan sedangkan geodesi dalam perhitungan nya tidak bisa terlepas dari metode hitung perataan khususnya metode kuadrat terkecil meski terdapat metode yang lain selain hitung kuadrat terkecil.

    II.            Aljabar linier

Aljabar berarti menjumlah, mengurang, mengkali, dan membagi. Sedangkan linier berarti persamaan yang memiliki variabel berpangkat paling tinggi adalah 1. Maka dengan demikian, kita dapat mengartikan bahwa aljabar linier adalah suatu fungsi dengan variabel bebasnya paling tinggi orde 1. Aljabar linear pada dasarnya adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

A.    Matrik dan Operasi-Operasinya.

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matrriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A,B,C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya ( matriks dengan m baris dan n kolom)

Jenis-Jenis matriks

ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu :

ü  Matriks Bujur Sangkar.

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal dengan istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn

ü  Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

ü  Matriks nol. 

    Matriks Nol merupakan matriks yang semua elemenya bernilai nol.

ü  Matriks Segitiga.

    Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen-elem dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini,juga tidak disyaratkan bahwa elemne diagonal harus bernilai tak nol.

ü  Matriks Identitas

    Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1.

ü  Matriks dalam bentuk  eselon baris tereduksi.

   Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat-syarat berikut :

   1. Untuk semua baris yang elem-elemenya tak nol, maka bilangan pertama pada baris tersebut

       haruslah = 1 ( disebut satu utama ).

   2.Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.

   3.Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks

   4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.

 III.            Hitung perataan kuadrat terkecil

Setiap pengukuran selalu dihinggapi kesalahan yang sifatnya acak. Oleh karena itu dibutuhkan suatu metode yang dapat menentukan nilai parameter tertentu dengan meminimalkan kesalahan acak. Hitung perataan adalah suatu cara untuk menentukan nilai koreksi yang harus diberikan pada hasil pengukuran, sehingga hasil pengukuran memenuhi syarat geometriknya (Wolf, 1980). Syarat geometrik merupakan suatu kondisi yang harus dipenuhi dari hubungan suatu pengukuran dengan pengukuran lainnya.

Hitung perataan kuadrat terkecil dimaksudkan untuk mendapatkan harga estimasi dari suatu parameter yang paling mendekati harga yang sebenarnya dengan cara menentukan besaran yang tidak diketahui (parameter) dari sekumpulan data ukuran yang mempunyai pengamatan lebih. Penyelesaian hitung kuadrat terkecil dilakukan dengan mencari suatu nilai akhir yang unik dengan cara tertentu sehingga jumlah kuadrat residualnya (V^TPV) minimum, sehingga tidak mungkin ada nilai hasil hitungan lain yang jumlah kuadrat residualnya (V^TPV) lebih kecil (Hadiman, 1991). Nilai parameter yang diperoleh dengan hitung perataan sebenarnya merupakan nilai estimasi terhadap nilai benar atau representasi dari nilai terbaik. Prinsip hitung perataan adalah adanya ukuran lebih atau derajat kebebasan. Persamaan untuk menghitung derajat kebebasan (r) adalah :

r = n – u

Dalam hal ini :

n = jumlah pengukuran

   u = jumlah parameter yang akan dicari

 IV.            Aplikasi aljabar linier pada hitungan kuadrat terkecil

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.sedangkan dalam pengerjaan hitung kuadrat terkecil selalu berkaitan dengan menyusun matriks,melakukan operasi matriks dll.

Sebagai ilustrasi:

A. Hitung Perataan Bersyarat (beda tinggi) :

Diketahui:

–          arah pengukuran beda tinggi (untuk menyusun Loop)

–          nilai ukuran beda tinggi.

Langkah-langkah perhitungan:

1. Menyusun persamaan Loop.
2. Menyusun matrik B, V dan W dari persamaan B.V+W=0.
3. Menghitung matrik V dengan persamaan V= -B^T.(B.B^T)^-1.W
4. Menghitung nilai ukuran definitif L^ = L^u + V
5. Menghitung tinggi definitif (T^).

Penjelasan:

1. Menyusun Loop ada 2 cara: dari titik tinggi ke titik tinggi itu sendiri dan dari titik tinggi ke titik tinggi yang lain.

Jumlah loop di hitung dengan persamaan = Jumlah ukuran – Jumlah parameter.

Ket.

Jumlah ukuran         = jumlah semua ukuran yang dilakukan (L1,L2,..,Ln)

Jumlah parameter = jumlah titik yang belum diketahui tingginya

2. Matrik B, V, dan W

Matrik B berisi nilai Loop 1, Loop 2,…, Loop N (untuk baris) dan L^u1, L^u2,…,L^un (untuk kolom). Ukuran matrik B = Nxn

Matrik V berisi nilai V1, V2,…, Vn. Sesuai jumlah ukuran, karena untuk koreksi nilai beda tinggi (L^u). Ukuran matrik V = nx1.

Matrik W berisi jumlah hitungan persamaan tiap Loop (ex. L1+L2-L3+L6 untuk Loop 1, maka jumlahkan persamaan Loop tersebut). Jumlah baris matrik sesuai dengan jumlah Loop. Misal: Loop1, Loop2,…, Loop N. Maka ukuran matrik W = Nx1.

3. Matrik V

Matrik V dihitung menggunakan hitungan matrik bisa menggunakan kalkulator matrik ataupun software lain seperti Ms. Excel, Matlab, dll.

V= -B^T.(B.B^T)^-1.W

Urutan menghitungnya :

1. Cari B^T
2. Hitung B.B^T
3. Hitung (B.B^T)^-1
4. Hitung -B^T.(B.B^T)^-1
5. Hitung -B^T.(B.B^T)^-1.W
6. L^ = L^u + V

Hitung menggunakan penjumlahan biasa.

Ex. L^1  = L^u1 + V1, dst.

4. T^

Hitung sesuai persamaan Loop.

B. Hitung Perataan Parameter:

Diketahui:

–          Azimuth (kadang dihitung menggunakan 2 koordinat yang telah diketahui)

–          Koordinat titik awal dan titik akhir. ex. A(Xa,Ya), N(Xn,Yn)

–          Jarak ukuran (ex. dAB^u,…, dMN^u)

–          Sudut ukuran (ex. θB^u,…, θM^u)

Langkah-langkah perhitungan:

1. Menghitung azimuth dari azimuth titik sebelumnya yang telah diketahui ataupun menghitung dari koordinat dan sudut ukuran.
2. Menghitung koordinat pendekatan.
3. Menghitung jarak pendekatan dan sudut pendekatan.
4. Menyusun matrik A.
5. Menyusun matrik F.
6. Menghitung matrik X = – (A.A^T)^-1. A^T.F
7. Menghitung koordinat definitif.

Penjelasan:

1. Azimuth:

αAB = atan ((XB-XA)/(YB-YA))

αBC = αAB + θB^u – 180^o

2. Koordinat pendekatan:

XB^O = XA^ + dAB^u. sin αBC

YB^O = YA^ + dAB^u. cos αBC

3. Jarak pendekatan:

dAB = [(XB^o – XA^)2 + (YB^o – YA^)²]

Sudut pendekatan:

θB = αBC – αAB + 180^o

4. Matrik A

Matrik A diisi turunan jarak dan sudut terhadap koordinat (X,Y) yang akan dicari.

5. Matrik F

Matrik F diisi jarak pendekatan kurang jarak ukuran (dAB^o – dAB^u) dan sudut pendekatan kurang sudut ukuran (θB^o- θB^u). Sesuai dengan jarak dan sudut yang digunakan untuk menghitung koordinat yang dicari.

6. Matrik X

X = – (A.A^T)^-1. A^T.F

Isi dari matrik X merupakan ΔX dan ΔY titik yang dicari.

7. Koordinat definitif:

X^B = XBo + ΔXB

Y^B = YBo + ΔYB

    V.            Kesimpulan

Dari ilustrasi diatas dapat disimpulkan bahwa dalam pengerjaan hitung kuadrat terkecil selalu berkaitan dengan aljabar linier sehingga kemampuan pada ilmu ljabar linier akan menjadi syarat utama untuk menguasai hitung kuadrat terkecil.

 VI.            Refrensi

http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear

https://aliamirrudin.wordpress.com/2013/01/06/hitung-perataan-resume-hiper-2/

http://matematika-word.blogspot.com/2013/01/materi-aljabar-linear-lengkap-matematika.html